 |
 |
 |
Van de week las ik in de krant een recensie over een mooi, nieuwe boek. In De auto, de geit en de wiskunde presenteren Jan Beuving en Ionica Smeets negenennegentig stijloefeningen met het driedeurenprobleem als thema. Mijn interesse was onmiddellijk gewekt en ik haastte me dan ook naar de boekhandel om een exemplaar te bemachtigen.
In de recensies klinkt een ondertoon dat het driedeurenprobleem voor wiskundigen weliswaar een gepasseerd station is, maar dat het voor niet-wiskundigen lastig te begrijpen zou zijn. Dat laatste is het zeker. Drieëndertig jaar geleden gaf ik zelf een eigen draai aan het onderwerp, omdat het mij aanvankelijk wat moeite kostte om mijn hoofd rond het probleem te krijgen, om maar eens een populair anglicisme te bezigen.
Voor de lezer die nog niet bekend is met dit vraagstuk, dat uit het midden van de jaren zeventig van de vorige eeuw stamt, geef ik hier even een omschrijving. Stel, u staat voor drie deuren waarvan er één een schitterende prijs, vaak een auto, aan het oog onttrekt. Achter de twee andere deuren staat niets, of een geit zoals de titel van het boek suggereert. U mag een deur aanwijzen, waarvan u hoopt dat de prijs erachter staat. Nadat u uw keuze heeft gemaakt, staat men u toe om te spieken door iemand, die weet waar de auto staat, een deur te laten openen waarachter een geit staat. Nu wordt u aangeboden om uw keuze herzien, u mag alsnog de andere dichte deur aanwijzen. Doet u dat, of niet?
Het probleem is ondertussen dermate bekend dat velen weten dat men moet wisselen, hoewel men vaak niet kan uitleggen waarom. Een wiskundige snapt dat door de keuze aan te passen, je een dubbele kans op de prijs hebt. Om dit bevestigd te zien heb ik indertijd een simulatie gedaan, om natuurlijk te ontdekken dat als u niets doet, de kans op de prijs één op drie blijft. Wisselt u van deur, dan wordt die kans inderdaad twee op drie. Gooit u een muntje op om uit de overgebleven deuren te kiezen, dan wordt de kans weer fifty-fifty. Dit is zo'n probleem waarvan de oplossing niet intuïtief is, en het duurde even voordat de reden erachter me begon te dagen. De makkelijkste manier waarop ik denk het u te kunnen uitleggen is als volgt.
Doet u niets, dan neemt u impliciet aan dat u meteen de winnende deur had gekozen, met een kans van één op drie. De waarschijnlijkheid dat de deur van uw aanvankelijke voorkeur helaas ook een geit zal onthullen, is vanzelfsprekend twéé op drie. Dit komt omdat u van tevoren niets weet over de kansen per deur, die u dus voor iedere deur gelijk moet veronderstellen. Bedenk dat degene die een deur voor u opent zodat u kunt spieken, niet de winnende opent. Natuurlijk verandert het openen van die verliezende deur niets aan de aanvankelijke kansen. Echter, er valt een verliezende deur af, en die informatie werkt in uw voordeel omdat dit wél wat zegt over de kans per deur. Terwijl het publiek de adem inhoudt, peinst u een moment of u gaat wisselen.
U knijpt uw ogen dicht en mompelt in uw hoofd … Ik had van tevoren geen informatie, maar de situatie is veranderd omdat ik van één deur al weet dat die verliest. Ik heb waarschijnlijk de deur gekozen die ook verliest, maar dan moet de auto geparkeerd staan achter die andere dichte deur, met dezelfde twéé op drie kans! Anders gezegd, als er drie kandidaten spelen en alle drie wisselen, verruilen er twee een bokkige geit voor een nieuwe bolide, terwijl er één alsnog met een geit moet gaan leuren. Indien ik nu een willekeurige deur aanwijs, begin ik in feite opnieuw en is de kans op winst fifty-fifty, wat beter is dan één op drie bij niets doen, maar slechter dan twéé op drie wanneer ik wissel. Uiteindelijk is het boerenlogica, gebruikmakend van de kennis die u heeft na het openen van een verliezende deur.
Als het u nu duizelt, bedenk dan dat één van de grootste wiskundigen van de vorige eeuw, John von Neumann, opmerkte dat men in de wiskunde concepten niet begrijpt, maar eraan gewend raakt. Bemoedigd door deze gedachte, ga ik nu het gerecenseerde boek lezen, dat ondertussen bezorgd is.
